出題者との対話の重要性について③ (京都大学2012年理系数学第3問)
今回のテーマは前回の大阪大学のベクトルの問題と同様「かたまりでとらえる」です。
ただし今回は問題にはかたまりがそのままの形では出ていません。
京都大学2012年の理系数学の第3問です。
まずは問題をご覧ください。
範囲を求める問題です。
京都大学独特の短い問題です。どういう構造かをまず見ましょう。
問題になるのは変数がxとyの二つあることです。その二つが同時に別々に動く、この問題に関してはもっとタチが悪く連動して動くのです。
モグラ叩きを想像してみてください。
あちらこちらから複数のモグラが出てくるから厄介なのですよ。
とすれば、動き回るモグラを1匹にすれば良いと思いませんか。
これが最大最小や、範囲を求める時の基本的な考え方になります。
最初はかたまりが見えない。
しかし文字を消去するために新たな変数を置くときに、問題を見直してください。
かなりあからさまに対称式になってることがわかります。ここでかたまりが見える仕組みになっています。
この時点で問題の構造が見えて解決を意識できますね(笑)
一変数になるので微分して増減表書いて、はいおしまい。とやってしまう人もかなりいると思います。
しかし、出題者はこの気持ちの油断をついているように見えます。
なにかとても基本的なことを忘れていませんか？
範囲！ですね。置き換えや文字を消去したときは変数の範囲に注意を払うという基本的なことを忘れないようにしてください。(特にこの対称式から実数解条件で範囲を絞り込む典型的な考え方がピンとこない人はチャート等の図形と方程式の「領域」へ直行！笑)
あとは範囲を求めて微分から増減表を書いて解決です。
この作り込みの丁寧さ。ストーリーの鮮やかさ。
改めて出題者の先生には畏敬の念を抱きます。
せっかくの受験勉強ですからこういう出題者からのメッセージを意識しながら問題に取り組むとまた違った風景が見えて視野が広がると同時に物事をシンプルに捉えられることに繋がると思います。
大学入試数学の内容ですので、一般的にはおそらく全くウケないことを覚悟で(笑) 初見の問題に威圧されている受験生の一助になればと思っています。
時間があれば数学に限らず国語や英語、物理に関しても同様に出題者との対話の重要性と活用方法を伝えていきたいと思っています。
2026年10月24日 12:13
